计算机基础知识之补码

补数的概念

当我们将时钟的指针从6点拨到2点时，可以通过两种操作方式实现：逆时针拨动4下或顺时针拨动8下。这两种方法是等价的。如果将逆时针拨动视为负数，顺时针拨动视为正数，那么在时钟拨动的例子中，+8 是 -4 在模数12下的补数。

模的概念：

模（或称模数）是一个数值计量系统的计量范围，记作mod或M。一旦确定了“模”，就可以找到一个与负数等价的正数来代替该负数，这个正数就是负数的补数。超出计量范围的数都应该自动舍去模数。例如，6 + 13 = 19 ≡ 7 (mod 12)。

在该8位寄存器中，能表示的无符号定点数最大数值为2^8，最小值为0。当超过最大值时就会舍弃模数（向前再进一位），而后这8位都从0开始。

补数的特点：

一个负数可以用它的正补数来替代，而这个正补数可以通过模数加上负数本身求得。一个正数和一个负数互为补数时，它们的绝对值之和即为模数。正数的补数即该正数本身（这个无需深究，只需记住即可）。对于特点1，前面时钟的例子中，[-4]的补数 = 12 + (-4) = +8，同样的，[-9]的补数为12 + (-9) = +3。对于特点2，|+8| + |-4| = 12，|-9| + |+3| = 12。

寻找一个负数的整补数的意义何在呢？

将减法转换为加法运算，符号位也可以直接参与运算。这样，计算机内部就可以使用加法器来实现减法运算，而不必专门设置减法器，从而降低了硬件的复杂度和成本。

最后，因为16超过了模数范围，自动舍弃模数，即16 - 12得到最终结果4。

补码将补数的概念应用到计算机内部，便出现了补码这种机器码（机器数）。

正数的补码：符号位为0，数值位就是它本身。负数的补码：等于模数加上该负数本身，而模数就是最高位进位的位权值。定点整数的补码定义：

假设真值x为定点整数，n为x的补码表示中数值位的位数（比特数量），加上1个符号位，x的补码表示共有n+1位，最低位的位权值为2^0，而最高位（符号位）的位权值为2^n，因此最高位进位的位权值为2^(n+1)，即模数为2^(n+1)。

0在补码和原码表示时的区别：

可以看出正数的原码与补码相同，而负数的原码和补码是不同的。

0在原码中有两种表示形式，但在补码中只有一种表示形式，因此补码可以比原码多表示一个数。

定点小数的补码定义：

假设真值x为定点小数（纯小数），小数点左侧的位为最高位（符号位），其位权值为2^0，而最高位进位的位权值为2^1，即模数为2^1=2。

现代计算机中多采用IEEE754标准表示浮点数，而其中的定点小数采用原码表示，因此通常不会涉及定点小数的补码表示。

相关参考：https://www.php.cn/link/1e06ec8cf0abf417f8c787235f66f350

补码的优缺点：

优点：

表示方法使得减法运算可以转换成加法运算。真值0在补码中只有一种表示，这使得补码比原码多表示一个最小负数。符号位可以直接参与运算，运算时符号位的进位作为模会被自动舍弃。

目前计算机中普遍采用补码表示有符号定点整数，例如C语言中的char、short、int、long型整数都是采用补码进行表示的。

缺点：

补码的表示相对原码更加复杂。原码的数值位与真值的绝对值相同。因此，通过原码可以很容易地得出真值。但是，补码就没有这么简单了。