前言

众所周知，限定干员迷迭香的限定池已经结束。我寻访了242次却一次也还没抽到这个限定干员，让我对我的血统产生了深深的怀疑。为了更量化地认识到自己的手气，我决定做一个分析。实际上，网络上应该已经有不少卡池概率分析的文献，但我懒得去找，顺带再复习一下概率论。

由于平台编辑器的局限性，对于重要公式，我只能采用图片的形式将其嵌入到文本当中。

摘要

通过概率论，分析明日方舟限定池的概率分布，量化我的欧气值。为了简化模型，本文不考虑前10次保底，以及计算机伪随机数。即考虑理想情况下限定干员的概率分布。

关键字：限定干员、概率

正文

一、数据来源

首先，从官方公告中对限定卡池的描述，我们可以得到一些基础的数据。这些数据将稍后用于整个分析过程。

如上图所示，显然我们可以得到关于六星干员出率的概率。

当然，我们的最终目的是计算限定干员的概率，而下图体现了一部分限定干员出率的概率。

此处，官方并没有直接给出限定干员的出率，而是和另一个UP六星一同描述。设常数a为六星干员中限定干员的出率，显然0

二、开始推导

首先考虑抽出一个六星干员的概率分布。设随机变量X表示获得一个六星干员需要寻访的次数。则X的分布律为

当k>50时，

综上所述，X的分布律为

从上式我们可以得出一个结论：当k=56时，概率P{X=k}达到最大值0.0335。数学期望EX=34.59。（计算过程太复杂，我直接用程序跑了）

到目前为止，我们已经得到了获得六星干员的寻访次数概率分布。接下来就是要达到我们的最终目的——获得限定干员的寻访次数概率分布。

获得限定干员，首先要获得一个六星干员，然后才有a的概率是限定干员。但是，在抽到限定干员之前，我们可能会抽到普通的六星干员，使卡池概率重新计算。

设随机变量Y表示获得一个限定干员需要的寻访次数。对于前50项，Y服从超几何分布，即

但当考虑50项以后的概率时，这是一个复杂的情况。因为后面的某一项与之前的事件都不独立。我无法用数学语言给出一个通用的公式，但是我可以用程序语言来描述。

在讲述算法思想之前，我们先看一个k=4时的例子，以便理解随机变量Y与X之间的关系。

当Y=4时，即在第4次抽出限定干员。那么这样的可能性有多少个呢？

每次寻访都出六星，但前3个是非限定，第4个是限定，即a * (1-a)^3 * P{X=1}^4

出了三个六星，那么没出的那一次可能是第1,2,3次，即3 * a * (1-a)^2 * P{X=1}^2 * P{X=2}

出了两个六星，分别抽1,3次，即2 * a * (1-a) * P{X=1} * P{X=3}

出了两个六星，分别抽2,2次，即a * (1-a) * P{X=2}^2

只出一个限定，即a * P{X=4}

不难看出，实际上就是整数拆分，然后乘上对应的系数，最后的累加起来就是最终结果。4的拆分方案还不算多，但如果要算到300的话，以现代电子计算机的能力未必能在人类灭绝之前得出答案。于时我们只能退而求其次，计算一个近似值了。

注意到，随机变量X的概率其实并不大，我们如果取最大值0.034，那么它的7次幂已经是10^(-7)数量级了。那么我们直接把这些次数大的项扔掉就好了。

此外，由于连续不出六星的次数最多是98次，所以在拆分整数时无需考虑大于99的拆分方案。

至此，我们的算法思想就出来了。对于某个整数k，我们使用整数拆分算法将k拆成6个以内的较小数，每个数小于等于99。对于每个拆分方案，计算他们的组合数，也就是这一项的系数。最后进行一个累加结果就出来了。

最后，给出部分的计算结果。这里假设鹰角没有动手脚，常数a取0.35，也就是迷迭香和泥岩对半分。

经过计算我们发现，获得限定干员的最大概率不是k=57，而是氪满300发强娶，概率为9%不到。当然，上表中的数值有一定的误差，一方面是我们把一些项给省略了，另一方面是计算机浮点数精度有限。

总结

什么嘛，原来是242发不出限定只有十分之一的概率，那我也不是很非嘛（